Si alguien se ha erigido como protagonista indiscutible del Mundial de Fútbol de Sudáfrica, ese es Paul, el jodido pulpo alemán que no merece más presentación ya que estoy convencido de que por todos es conocido.Desde que se dieron a conocer las dotes adivinatorias del octópodo, he escuchado y leído todo tipo de comentarios acerca de la infalibilidad que demuestra en su curiosa forma de pronosticar y acertar resultados futbolísticos. Hasta el día de hoy, de los seis encuentros en los que ha participado la selección alemana de fútbol, ha acertado todos y cada uno de ellos, lo que me ha llevado a divagar matemática y estadísticamente la probabilidad de que el dichoso pulpo haya acertado todos los resultados, y a esto voy a dedicar la entrada que ahora mismo estais leyendo.
Algunos dicen que no es tan complicada la hazaña llevada a cabo por Paul, ya que tiene un 50% de probabilidad de acertar en cada encuentro, bien, hasta ahí de acuerdo, en cada partido que ha jugado la selección alemana, el pulpo podía acertar o no acertar, es decir, el 50% de probabilidad, pero hay que darse cuenta que ha acertado en seis ocasiones, con lo que la probabilidad se reduce considerablemente llegando a ser tan sólo del 1,5625% la probabilidad de acertar en todos los partidos de los 6 disputados. Para comprender la dificultad de lo llevado a cabo por Paul, sólo tenéis que coger una moneda, lanzarla al aire 6 veces y ver si sois capaces de conseguir que salga siempre el mismo resultado, cara o cruz, pero siempre lo mismo en los 6 intentos. ¿Difícil verdad?.
Voy a recurrir a varios argumentos e intentar hacer que todo el mundo entienda cómo se llega a calcular ese 1,5625% de probabilidad por pocos conocimientos en matemáticas y estadística que se tengan. Para el desarrollo posterior, parto de la base de que los sucesos son equiprobables, es decir, entiendo que Paul no tiene ni santísima idea de fútbol y él elige aleatoriamente una de las dos urnas (al final del artículo expongo mis dudas acerca de que las urnas no estén trucadas...), y vamos a suponer también que no tiene cabida el empate (cosa que de todos modos no ha ocurrido, ya que Alemania no ha empatado ningún partido y aún así, sólo hubiese tenido efecto en los tres partidos de la fase previa a octavos de final que son en los únicos donde se podría empatar) ya que de no hacer estas consideraciones previas, no tendría sentido matemático ninguno de los argumentos estadísticos que voy a dar a continuación.
El primero de ellos y el más fácil y obvio es hacer el cálculo de la siguiente manera: para el primer partido, tenemos un 50% de probabilidad de acierto, es decir, elegir uno de los dos equipos enfrentados, ya para el segundo encuentro, la probabilidad de acertar también éste se reduce a un 25%, ya que acertó el primero y ahora también acierta el segundo, bien. Para el tercero, la probabilidad se vuelve a reducir la mitad de nuevo, así que tenemos un 12,5% de probabilidad de que se acierten los 3 partidos disputados hasta ese momento, para el cuarto tendíamos 6,25%, para el quinto 3,125% y por último, para acertar los 6 resultados, se tiene una probabilidad de 1,5625%. Esto podríamos decir que es el cálculo hecho por la llamada tradicionalmente "cuenta de la vieja", pero hay más argumentos que nos llevan al mismo resultado.
Otro argumento consisten en lo siguiente. ¿Cuántas combinaciones de posibles equipos ganadores hay en los seis encuentros disputados (sin contar el empate)?, esto es fácil, tenemos 2 posibilidades para el primer encuentro, multiplicado por otras dos del segundo y así sucesivamente, obteniendo un resultado de 2^6 (2 elevado a 6), es decir, 64, que va a ser nuestro espacio muestral. Ahora bien, atendiendo a la regla de Laplace, con fórmula P(probabilidad) = Casos favorables/Casos posibles, y como Paul ha acertado todos y cada uno de ellos (Casos favorables(acertar todos los resultados de los 6 encuentros) = 1), hay una probabilidad P=1/64 (= 0.015625), que nos lleva al mismo resultado anterior, es decir el famoso ya para nosotros 1,5625%.
Pero todo lo anterior lo podemos modelizar de forma matemática más rigurosa mediante lo que en estadística se conoce como "distribución binomial". Una distribución binomial, es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Aquí cabría hacer un inciso, ya que un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, es decir, sólo dos posibles resultados y en un partido de fútbol, también puede darse el empate, pero como he comentado unas líneas más arriba, la selección alemana no ha empatado ningún encuentro por tanto nos sirve perfectamente este argumento. La expresión en lenguaje matemático de la distribución binomial es la siguiente:
- n es el número de pruebas, 6 para nuestro caso.
- k es el número de éxitos, también 6.
- p es la probabilidad de éxito, aquí tenemos 0,5.
- q es la probabilidad de fracaso, 1 - 0,5 = 0,5.
Por tanto, operando para lo conseguido por el pulpo tenemos:
P(X = 6) = 1*0,5^6*0,5^0 = 0,015625, lo que porcentualmente equivale a nuestro conocido 1,5625% de probabilidad.
¿Qué quiere decir esto en román paladino?, pues nada más y nada menos, que de 100 experimentos como este que se realizaran, ni siquiera dos pulpos conseguirían acertar los 6 encuentros de la manera que lo ha hecho Paul. Tan sólo habría 1,5625 pulpos que lo conseguirían si se repitiera 100 veces el experimento. De todos modos, para que se pudise demostrar científicamente las dotes adivinatorias del pulpo de las que hablaba antes, habría que seguir repitiendo el experimento unos cuantos cientos de veces para que se aproximara a una distribución estadística normal, ya que con un número de pruebas tan bajo como es seis, puede caber la casualidad.
Hasta aquí el argumento científico-matemático puro y duro de lo conseguido por el alma mater del mundial, el pulpo, pero soy consciente de que puede haber algún "truco", como que el mejillón que le pongan en una urna sea más apetecible para Paul que el de la otra, etc. Aún así y si estuviera trucado, ¿quién fue el lumbreras que predijo que Alemania perdería contra Serbia?, en fin, que todo esto me resulta cuando menos curioso y me ha dado por reflexionar y desempolvar algún conocimiento estadístico que he querido plasmar aquí.
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