¿Alguien se ha planteado alguna vez cuánto dinero habría que gastarse en lotería para tener asegurado el mayor premio y así poder hacernos con el bote? Por sentido común podemos intuir que el dinero que hay que invertir será mucho mayor que el que nos tocará, lo cual es completamente cierto, si no, vaya negocio que iba a hacer el Estado con sus apuetas. Pues en el post de hoy, vamos a calcular mediante combinatoria cuántas apuestas habría que hacer para garantizarse el premio de primera categoría en algunas de las loterías que podemos encontrar en cualquier administración de España.No quiero dar una clase de combinatoria y probabilidad, simplemente la manera de usar ciertas herramientas de dicha rama de las matemáticas para aplicarlas a supuestos prácticos del día a día, y en este caso concreto, a la lotería. Para ilustrar el asunto y comenzar con un caso sencillo voy plantear la siguiente pregunta: ¿Cuántos automóviles se pueden matricular en España con el actual sistema de matriculación de vehículos? Sabemos que las actuales matrículas en España constan de 4 números, del 0 al 9, y 3 letras del abecedario que no pueden ser vocales (para evitar matrículas del tipo FEO, PEO, MEO...) ni tampoco la letra Ñ ni Q. Pues bien, podemos dividir el problema en dos partes diferenciadas, por un lado el número de combinaciones que podemos hacer con los números del 0 al 9 y por otro lado, el número de combinaciones que podemos hacer con las 20 letras disponibles del abecedario. Por supuesto, se pueden permitir repeticiones tanto en los dígitos como en las letras. Pues bien, podemos ver los 4 números con una lista con repetición con 4 posiciones y en cada posición se puede colocar un dígito de 0 a 9, por tanto, el número de combinaciones que podemos hacer nos vendrá dado por la expresión 10^4 (10 elevado a 4), es decir 10 posibilidades para cada posición de nuestra lista de 4 posiciones. Con las letras hacemos la misma operación, tenemos otra lista, esta vez con tres posiciones y 20 posibilidades para cada posición, por tanto tenemos 20^3 (20 elevado a 3) combinaciones posibles. Como la matrícula consta de números y letras, multiplicamos ambos resultados y nos da el resultado todal de vehículos que podemos matricular. Haciendo la operación sale un resultado de 80.000.000 de matrículas que se pueden formar con el sistema actual de matriculación.
Bueno, el ejemplo anterior es sencillo pero sirve perfectamente para hacerse una idea de qué va el tema y coger los conceptos fundamentales de la combinatoria. Ahora vamos a aplicar la combinatoria para el asunto que aquí voy a tratar, las loterías y apuestas del Estado. Voy a comenzar por la quiniela del fútbol que debe ser una de la más jugada en España. Para conseguir el mayor premio en esta lotería, el jugador debe acertar los 15 resultados de los partidos propuestos de 1ª y 2ª división de una jornada de la Liga Profesional de Fútbol Española. Para cada partido nos dan 3 opciones (1 X 2) según gane el equipo local, queden empatados o bien gane el equipo visitante. Siguiendo el ejemplo de las matrículas, podemos ver que en este caso también tenemos una lista, ahora con 15 posiciones y que podemos colocar uno de tres símbolos (1 X 2) en cada una de ellas. Por tanto, el número de posibilidades que tenemos sería 3^15 (3 elevado a 15), dando un resultado de 14.348.907 combinaciones posibles. Así que para garantizarnos el premio, tendríamos que rellenar esa ingente cantidad de columnas con el correspondiente desembolso económico.
Pasemos ahora a estudiar el caso de Euromillones y La Primitiva. También la combinatoria nos va a decir el número de combinaciones posibles en estos sorteos, pero ahora el problema no se puede resolver de la misma manera que hemos resuelto el caso de las matrículas o el caso de La Quiniela, si no que varía ligeramente. Empecemos con La Primitiva. Para conseguir el máximo premio en este sorteo, el jugador deberá acertar 6 números elegidos de 49 posibles, por tanto aquí no se puede modelizar el problema como una lista, si no que hay que verlo de la siguiente manera. Tenemos un conjunto inicial de 49 elementos, de los cuales debemos elegir un subconjunto de 6 elementos, por tanto si queremos saber el número de subconjuntos de 6 elementos que podemos extraer en un conjunto de 49, debemos recurrir a los números combinatorios. Asi pues, el número combinatorio 49 sobre 6 y sus posteriores operaciones nos da un resultado total de 13.983.816 combinaciones, a 1 € cada columna... haceros una idea.
¿Y qué pasa con Euromillones? Pues esta multimillonaria lotería es la más difícil de acertar y enseguida vais a ver por qué. En este juego para conseguir el premio de 1ª categoría hay que acertar 5 números elegidos de 50 por una parte y luego, acertar 2 "estrellas" de 9 posibles que nos ofrecen. A simple vista se puede ver que es más difícil que La Primitiva, pero si nos ponemos a echar cuentas y hacemos los cálculos con los números combinatorios de los que hablaba antes para La Primitiva, tenemos que el número de combinaciones posibles para el juego del Euromillones es 76.275.360. ¡Asombroso!, casi 5 veces más de combinaciones posibles que para La Primitiva.
Así que ya sabéis, nos podemos tirar jugando al Euromillones todos los viernes durante un millón y medio de años y aún así probabilísticamente no se nos garantiza el éxito.
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